Distribuciones beta dos

La primera es una aproximación a la distribución normal, pero achatada a los extremos de la siguiente forma:

Se deben considerar tres escenarios para cada uno de los flujos de caja del proyecto:

El optimista, el más probable y el pesimista. Con base en esta información se calcula el promedio y la varianza de cada flujo de caja utilizando las siguientes ecuaciones:

EJEMPLO

Con base en la información anterior de los proyectos “A” y “B” del señor Armando Rico, y considerando tres escenarios para cada flujo de caja, determinar el riesgo de cada inversión, asumiendo que el escenario más probable fue el empleado en el capítulo anterior de evaluación de alternativas mutuamente excluyentes.

Proyecto A:

	ESCENARIOOPTIMISTA	ESCENARIO MÁS PROBABLE	ESCENARIOPESIMISTA
Flujo caja año 0	-4,000	-5,000	-6,500
Flujo caja año 1	2,200	1,450	1,234
Flujo caja año 2	2,400	1,789	1,456
Flujo caja año 3	2,657	2,345	2,178
Flujo caja año 4	4,300	3,617	2,969

PROYECTO B:

	ESCENARIO OPTIMISTA	ESCENARIO MÁS PROBABLE	ESCENARIO PESIMISTA
Flujo caja año 0	-6,500	-7,000	-9,000
Flujo caja año 1	2,845	2,345	2,156
Flujo caja año 2	2,845	2,345	2,156
Flujo caja año 3	2,845	2,345	2,156
Flujo caja año 4	5,259	4,682	4,300

Con base en la información anterior, se deben realizar los siguientes cálculos para el proyecto A:

Promedio flujo de caja O = (-4,000 + 4(-5,000)-6,500)/6 = -5,083.33

Promedio flujo de caja 1 = (2,200 + 4(1,450)+1,234)/6 = 1,539

Promedio flujo de caja 2 = (2,400 + 4(1,789)+1,456)/6 = 1,835.33

Promedio flujo de caja 3 = (2,657 + 4(2,345)+2,178)/6 = 2,369.17

Promedio flujo de caja 4 = (4,300 + 4(3,617)+2,969)/6 = 3,622.83

Varianza flujo de caja período O

	PROMEDIO	VARIANZA
Flujo caja año 0	-5,083.33	173,611.11
Flujo caja año 1	1,539.00	25,921.00
Flujo caja año 2	1,835.33	24,753.78
Flujo caja año 3	2,369.17	6,373.36
Flujo caja año 4	3,622.83	49,210.03

VPN promedio A = - 5,08 3.33 + 1,539 / ( 1+ 0.10 ) + 1 ,835.33 / ( 1 + 0.10 )2 +

2,369.17 / (1+0.10)3 + 3,622.83 / (1+0.10)4

VPN promedio A =2,087

VPN Varianza A = 173,611.11 + 25,921 / ((1+ 0.10))2 + 24,753.78 / ((1+0.10)2)2

+ 6,373.36 / ((1+ 0.10)3)2 + 49,210.03 / ((1+ 0.10)4)2

VPN varianza A = 238,495.03 (Sacamos raíz para obtener la Desviación Estándar)

VPN desviación estándar A = 488,36

Con base en la información anterior ¿Cuál es la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero’?

Utilizando la distribución normal y estandarizando en unidades / se tiene: 

El resultado anterior se puede buscar en una tabla de distribución normal o en Excel utilizando las funciones estadísticas “f(x)” se selecciona distribución normal estandarizada y se coloca el valor -4,2734 donde dice Z.

Como resultado se obtiene el área bajo la curva hasta el punto de la referencia que es cero, que para el ejemplo es de 0,96257x105 . Como el área total de la curva es 1, la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero sería:

1- 0,96257 x 105= 0 .999

O sea que P(VPN>O) 0.999 = 99.9%

A continuación se efectúan los mismos cálculos con la información del proyecto B, obteniendo los siguientes resultados:

Promedio flujo de caja O = (-6,500 + 4(-7,000)-9,000)/6 = -7,250

Promedio flujo de caja 1 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83

Promedio flujo de caja 2 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 2,396.83

Promedio flujo de caja 3 = (2,845 + 4(2,345)+2,156)/6 = 2,396.83

Promedio flujo de caja 4 = (5,259 + 4(4,682)+4,300)/6 = 4,7 14.50

	PROMEDIO	VARIANZA
Flujo caja año 0	-7,250.00	173,611.11
Flujo caja año 1	2,396.83	13,186.69
Flujo caja año 2	2,396.83	13,186.69
Flujo caja año 3 .	2,396.83	13,186.69
Flujo caja año 4	4,714.50	25,546.69

VPN promedio B = -7,250 +2,396.83 / (1+0.10) + 2,396.93 / (1+0.10)2 +

2,396.83 / (1+0.10)3 + 4,714.50 / (1+0.10)4

VPN promedio B = 1,930.64

VPNVarianza B = 173,611.11 + 13,186.69 / ((1+ 0.10))2 + 13,186.69 / ((1+0.10)2)2

+ 13,1 86.69 / ((1+ 0.10)3)2 + 25,546.69 / ((1+ 0.10)4)2

VPN varianza B =212,877.16 (Sacamos raíz para obtener la Desviación Estándar)

VPN desviación estándar B = 461.39

Con base en la información anterior ¿Cuál es la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero?

Utilizando la distribución normal y estandarizando en unidades / se tiene:

El resultado anterior se puede buscar en una tabla de distribución normal o en Excel utilizando las funciones estadísticas “f(x)” se selecciona distribución normal estandarizada y se coloca el valor -4,1844 donde dice Z.

Como resultado se obtiene el área bajo la curva hasta el punto de la referencia que es cero, que para el ejemplo es de 1.4305 x 105 . Como el área total de la curva es 1, la probabilidad de que el VPN sea mayor que cero sería:

1- l.4305 x 105= 0 .999

O sea que P(VPN>O) 0.999 = 99.9%

Los resultados permiten concluir que los dos proyectos analizados tienen un riesgo mínimo.

Ejemplo:

Con base en la información obtenida se pueden resolver inquietudes en relación con el riesgo de obtener determinados valores del VPN y no solamente de cero como se explicó anteriormente. Se puede calcular por ejemplo la probabilidad de que el valor presente neto sea mayor a $2,500 millones en cada uno de los proyectos.

Para el proyecto “A” se efectuaría el siguiente raciocinio:

P(VPNA> 2,5 00) =?

donde, VPN = 2,500, VPNpromedio. =2,087 y DESV ESTVPN = 488.36

2.500 - 2.087

Z = ------------------ = 0.85

488.36

que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8012 y una probabilidad.

(Probabilidad VPN>2,500) = 1-0.8012=0.1988

o sea que existe un 19.88% de probabilidad de que el VPN del proyecto "A" sea mayor a $2,500 millones.

Para el proyecto "B" se tendrían los siguientes resultados:

 VPN - VPN promedio

z = DESVEST VPN

donde, VPN = 2,500
            VPN promedio = 1,930.64 y DESVEST VPN = 461.39

2.500 - 1.930.64

Z= 1.23

...............................461.39

Que corresponde al área bajo la curva hasta $2,500 millones de 0.8915. Lo que implicaría que la probabilidad mayor a $2,500 millones se expresaría de la siguiente forma:

(Probabilidad VPN>2,500) = 1 — 0.8915 = 0.1085

o sea que existe un 10.85% de probabilidad de que el VPN del proyecto “B” sea mayor a $2,500 millones.

De lo anterior se concluye que la probabilidad de que los proyectos “A” y “B” den un resultado negativo es muy pequeña, es decir son poco riesgosos. No obstante, si el inversionista señor Armando Rico tiene como meta ganar $2,500 millones en valor presente neto, las probabilidades de obtener esta cifra son muy bajas, 19.88% para el proyecto “A” y el 10.85% para el proyecto “B”.